座標変換(回転)の計算方法

CAEで空間上の変位を計算することがあります。その計算自体はCAEのソフトウェアがしてくれるのですが、計算結果の表示がグローバル座標系しか表示してくれません。でも、知りたいのはローカル座標系での表示なのです。ということで、座標系の変換について調べてみました。

目次

  1. 座標系を回転する
  2. 変換用の行列を導き出す
  3. 3次元空間での変換行列

座標系を回転する

変位を示すベクトル自体は移動しないので、座標変換といっても回転だけです。

基本ベクトルの関係を導き出してみます。

  • XY座標系の基本ベクトルをx, yとします。
  • UV座標系の基本ベクトルをu, vとします。
  • XY座標系とUV座標系の原点は同一とします。

xからuへ回転する角度をθとします。 このときu, vはx, yを用いて、下記の様に表せます。

基本ベクトルの関係式 関係式を表す図

変換用の行列を導き出す

平面上の任意の点Pへのベクトルをpとします。

変換行列の導出 変換行列の導出の図 変換行列

以上でXY座標系とUV座標系での座標の関係が得られました。

XY座標系からUV座標系へ変換するには、両辺に逆行列をかけます。

XYからUVへの変換行列

3次元空間での変換行列

3次元空間でXYZ座標をUVW座標のZ軸とW軸が同一とします。

変換行列Z

上記はZ軸周りの回転です。同様にX軸周りの回転は下記の様になります。

変換行列X

Y軸周りの回転は下記の様になります。

変換行列Y

あとは、グローバル座標系(XYZ座標系)をX軸Y軸Z軸回りにそれぞれどれくらいの角度だけ回転するとローカル座標系(UVW座標系)になるか調べて、順番に計算していけば良いわけです。

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